JEMATA EXETASEWN Pragmatik Anˆlush I

Σχετικά έγγραφα
ISTORIKH KATASKEUH PRAGMATIKWN ARIJMWN BIBLIOGRAFIA

Pragmatik Anˆlush ( ) TopologÐa metrik n q rwn Ask seic

Πρόταση. f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I. δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ. ɛ > 0, δ > 0 : ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής.

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι

11 OktwbrÐou S. Malefˆkh Genikì Tm ma Majhmatikˆ gia QhmikoÔc

Λύσεις Διαγωνισμάτος 1 Ενότητα: Ακολουθίες-Σειρές

ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: Ορισμός Cauchy

1 AkoloujÐec pragmatik n arijm n. 3 Fragmènec akoloujðec


APEIROSTIKOS LOGISMOS I

GENIKEUMENA OLOKLHRWMATA

PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS.

f(x) f(c) x 1 c x 2 c

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ

Απειροσ τικός Λογισμός ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Ορισμός 1. Μια 1 1 (ένα προς ένα) συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο X του, δηλαδή μία 1 1 συνάρτηση

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς

Anaplhrwt c Kajhght c : Dr. Pappˆc G. Alèxandroc PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA I

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις τέταρτου φυλλαδίου ασκήσεων. ( n(n+1) e 1 (

SUNARTHSEIS POLLWN METABLHTWN. 5h Seirˆ Ask sewn. Allag metablht n sto diplì olokl rwma

PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METABLHTWN.

ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. v. Σε αυτή την περίπτωση το lim v

Όταν η s n δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει.

Shmei seic Sunarthsiak c Anˆlushc

ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΕΙΡΑΣ. Ορισμός. S n = a k μερικό άθροισμα, Αν S n S τότε συγκλίνει απλά η σειρά S. a k η. a k. 1 k 2 συγκλίνει. Παράδειγμα: Η σειρά k=1.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ

Ακολουθίες & Σειρές. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Ακολουθίες, Σειρές, Δυναμοσειρές. τεχνικές.

PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN. Ask seic kai Jèmata sthn Pragmatik Anˆlush I TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Statistik gia PolitikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PAR

Ακολουθίες & Σειρές. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Ακολουθίες, Σειρές, Δυναμοσειρές. τεχνικές.

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

Μερικές φορές δεν μπορούμε να αποφανθούμε για την τιμή του άπειρου αθροίσματος.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1 ο

lim y < inf B + ε = x = +. f(x) =

n sin 1 n. 2 n n+1 6 n. = 1. = 1 2, = 13 4.

PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS.

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΙΙ Εξετάσεις Ιουνίου 2002

AkoloujÐec sunart sewn A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

Ακουλουθίες ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου

Diakritˆ Majhmatikˆ I. Leutèrhc KuroÔshc (EÔh Papaðwˆnnou)

Diˆsthma empistosônhc thc mèshc tim c µ. Statistik gia Hlektrolìgouc MhqanikoÔc EKTIMHSH EKTIMHSH PARAMETRWN - 2. Dhm trhc Kougioumtz c.

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

H mèjodoc Sturm. Mˆjhma AkoloujÐec Sturm

25 OktwbrÐou 2012 (5 h ebdomˆda) S. Malefˆkh Genikì Tm ma Majhmatikˆ gia QhmikoÔc

Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις

Eisagwg sth Sunarthsiak Anˆlush. Shmei seic

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Μηχανική Μάθηση. Ενότητα 10: Θεωρία Βελτιστοποίησης. Ιωάννης Τσαμαρδίνος Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

L mma thc 'Antlhshc. A. K. Kapìrhc

Eisagwg sthn Anˆlush II

PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERHS KAI ANWTERHS TAXHS

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι ( )

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t)

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ενδεικτικές λύσεις)

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Σάββατο 11 Νοεμβρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.

Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων

Statistik gia QhmikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARA

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).

Νικος Χαλιδιας Μαθηματικό Τμήμα κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστημιο Αιγαιου

Mègisth ro - elˆqisth tom

B = F i. (X \ F i ) = i I

ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΤΜΗΜΑ 1β. 2n + 1 n(n + 1) xn. n=1. 2n + 1 ln(1 x)(1 + x) + x. a n = 2n + 1 n(n + 1) = 1 n + 1. a n+1 x n+1 a n x n.

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ).

Infimum. Ορισμός κάτω φράγματος συνόλου A. Ορισμός infimum του συνόλου A. Το σύνολο A R είναι κάτω φραγμένο αν. k R : x A k x.

Μαθηματική Ανάλυση Ι

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1

Απαντήσεις Διαγωνίσματος Μαθηματικών Προσανατολισμού Γ Λυκείου 03/11/2018

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1),

ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

sup(a + B) = sup A + sup B inf(a + B) = inf A + inf B.

Ακολουθίες πραγματικών αριθμών

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2019 ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

n a n = 2. Θεωρούµε τα σύνολα a n = n2 n n 2 + n 1. n a n = a > 0, δείξτε ότι a n > 0 τελικά.

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

Σηµειώσεις στις σειρές

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΤΡΙΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

Απειροστικός Λογισμός Ι Ασκήσεις

Φυλλο 3, 9 Απριλιου Ροδόλφος Μπόρης

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

6h Seirˆ Ask sewn. EpikampÔlia oloklhr mata

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

Α4. δ. Α5. (i) Λάθος (ii) Λάθος (iii) Λάθος (iv) Σωστό (v) Λάθος. Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 1. g x. και. f x g x έχουμε: Για την συνάρτηση

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. Απειροστικός Λογισµός Ι. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. Απειροστικός Λογισµός Ι - 4η Σειρά Ασκήσεων

lim x)) = lim f( x) lim (f( x)) x)) x 2 y x 2 + y 2 = 0 r 3 cos 2 θsinθ r 2 (cos 2 θ + sin 2 θ) = lim

Θεµέλια των Μαθηµατικών. Προαπαιτούµενες έννοιες για µια εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισµό. Φεβρουάριος 2014

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012)

z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0

Transcript:

JEMATA EXETASEWN Pragmatik Anˆlush I JEMA 1o. A)(M. 1.5) Na qarakthrðsete (me aitiolìghsh) tic protˆseic pou akoloujoôn me thn èndeixh Swstì Lˆjoc: (i) 'Estw x 0 tètoio ste x < ε, gia kˆje ε > 0. Tìte x = 0. (ii) H sunˆrthsh f(x) = 3 den eðnai periodik. (iii) lim n + (10 n n 2 n 5) = 0. x (iv) lim 3 +x 2 x + ηµ(3x + 5) = 0. 5x 10 +1 1 (v) H akoloujða me ìrouc: 2, 1 4, 1 4, 1 1,... eðnai upakoloujða thc akoloujðac ( ) 4 2 n. (vi) 'Estw f sunˆrthsh orismènh kai paragwgðsimh sto [1, 2] kai èstw ìti h f parousiˆzei topikì mègisto sto x = 1. Tìte f (1) = 0. (vii) 'Estw A uposônolo tou R tètoio ste sup A = inf A. Tìte to A eðnai monosônolo. B) (M. 1) Na apodeiqjeð ìti to ìrio lim x x0 f(x) miac sunˆrthshc ìtan upˆrqei eðnai monadikì. JEMA 2o. A) (M. 1.5) Na diatupwjeð kai na apodeiqjeð to Je rhma Bolzano. B) (M. 1) 'Estw x 0 R. Na apodeiqjeð ìti lim x x0 ηµ(x) = ηµ(x 0 ). JEMA 3o. A) (M. 0.8) 'Estw A, B mh kenˆ kai fragmèna uposônola tou R me A B. Na apodeiqjeð ìti: inf B inf A sup A sup B. B) (M. 0.8) Na apodeiqjeð me qr sh tou axi matoc plhrìthtac ìti to sônolo Z twn akeraðwn den eðnai ˆnw fragmèno. G) (M. 0.9) 'Estw (a n ) aôxousa kai fragmènh akoloujða pragmatik n arijm n. Na apodeiqjeð ìti aut sugklðnei sena pragmatikì arijmì kai lim a n = sup{a n : n = 1, 2,...}. n JEMA 4o. A) (M. 0.75) 'Estw (a n ) akoloujða pragmatik n arijm n me a n > 0 gia kˆje n = 1, 2,... kai lim n n a n = k (0, 1). Na apodeiqjeð ìti h seirˆ + a n sugklðnei. B) (M. 0.75) Na dojeð o orismìc tou anwtèrou orðou lim n (a n ) miac akoloujðac (a n ) kai sth sunèqeia na brejeð to lim n (a n ) thc akoloujðac (a n ) me ìrouc: a 1 = 2, a 2 = 3, a 3 = 1, a 4 = 2, a 5 = 3, a 6 = 1, a 7 = 2, a 8 = 3, a 9 = 1,... G) (M. 1) Na melethjoôn wc proc th sôgklish oi seirèc: (i) + 3n 2 +1 2n 2 +3. (ii) + ( 1)n 3n2 +1 n 6 +n 4 +5. (iii) + 3 n 2n 10. (iv) + ηµ(3n 2 +1). 2 n (v) + ( 1) n n. Kal EpituqÐa

Συνοπτικές Λύσεις Θεμα 1. Α: i: Σωστό. Εστω x > 0. Τότε για ε = x 2 > 0 ισχύει ε < x, άτοπο. ii: Λάθος. Για κάθε T > 0 και κάθε x R ισχύει f(x + T ) = f(x T ) = f(x) = 3. iii: Λάθος. Είναι: lim ( 10 n n 2 n 5 ) = 10 lim n n 2 lim n 5 = 10 2 = 8. iv: Σωστό. Από το κριτήριο Παρεμβολής (Ισοσυγκλινουσών ακολουθιών). v: Λάθος. Η ακολουθία δύο. ( 1 2 n ) έχει όρους διαφορετικούς ανά vi: Λάθος. Αντιπαράδειγμα: Η f(x) = x 2, x [1, 2] παρουσιάζει μέγιστο στο x = 1 αλλά f x 2 + 1 (1) = lim x 1 + x 1 = 2 0 vii: Σωστό. Αν το Α έχει τουλάχιστον 2 στοιχεία, τότε sup A inf A, άτοπο. Β: Εστω lim x x0 f(x) = l 1 και lim x x0 f(x) = l 2 με l 1 l 2. Παίρνουμε ε = l 1 l 2 > 0 2. Τότε δ 1 > 0 τ.ω. 0 < x x 0 < δ 2 f(x) l 1 < ε 2 δ 2 > 0 τ.ω. 0 < x x 0 < δ 2 f(x) l 2 < ε 2 Συνεπώς για x με 0 < x x 0 < δ = min {δ 1, δ 2 } έχουμε l 1 l 2 f(x) l 1 + f(x) l 2 < ε = l 1 l 2 2 άτοπο. 1

2 Θεμα 2. Α: Θεώρημα Bolzano Αν f : [a, b] R συνεχής και f(a)f(b) < 0, τότε υπάρχει x 0 (a, b) τ.ω. f(x 0 ) = 0. Πράγματι χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε πως f(a) < 0 < f(b). Επίσης θεωρούμε το σύνολο A = {x [a, b] : f(y) < 0, y [a, x]} Το A διότι f(a) < 0 και f συνεχής στο [a, b]. Το Α είναι και φραγμένο, οπότε a < x 0 = sup A < b. Θα αποδείξουμε με απαγωγή σε άτοπο ότι f(x 0 ) = 0. Εστω f(x 0 ) < 0. Τότε, λόγω συνέχειας της f, υπάρχει δ > 0 τ.ω. f(x) < 0 x (x 0 δ, x 0 + δ). Οπότε υπάρχει x 1 τ.ω. x 0 < x 1 < x 0 + δ με f(y) < 0, y [a, x 1 ], άτοπο. Εστω f(x 0 ) > 0. Τότε, λόγω συνέχειας της f, υπάρχει δ > 0 τ.ω. f(x) > 0 x (x 0 δ, x 0 + δ). Οπότε υπάρχει x 1 τ.ω. x 0 δ < x 1 < x 0 με f(x 1 ) > 0, άτοπο. Β: Εστω ε > 0, x 0 Rκαιx x 0. Είναι: ηµx ηµx 0 = 2ηµx x 0 συν x + x 0 2 2 2 ηµ x x 0 2 2 x x 0 2 = x x 0 Αν δ = ε > 0 και 0 < x x 0 < δ ηµx ηµx 0 < ε. Άρα lim x x0 ηµx = ηµx 0. Θεμα 3. Α: Εξ ορισμού inf A sup A. Ισχύει inf B inf A. Πράγματι για κάθε a A a B inf B a inf B inf A. Ισχύει sup A sup B. Πράγματι για κάθε a A a B a sup B sup A sup B. Β: Εστω ότι το Z είναι άνω φραγμένο. Από το αξίωμα της πληρότητας τότε, sup Z = s R.

Αν s Z, τότε s < s + 1 Z, άτοπο. Αν s / Z, τότε s < [s] 1 + 1 Z, άτοπο. Συνεπώς το Z δεν είναι άνω φραγμένο. Γ: Το σύνολο A = {a n : n = 1, 2,...} είναι φραγμένο, οπότε a 0 = sup A R. Εστω ε > 0. Τότε υπάρχει n 0 N ώστε a 0 ε < a n0 a 0 a 0 ε < a n0 < a 0 + ε a 0 ε < a n < a 0 + ε, n n 0 (αφού (a n ) αύξουσα) a n a 0 < ε, n n 0 lim a n = a 0 Θεμα 4. τ.ω. Α: Επειδή n a n k (0, 1), υπάρχουν x και n 0 N 0 < n a n < x < 1, n n 0 0 < a n < x n, n n 0 Η γεωμετρική σειρά n=n 0 x n συγκλίνει, επομένως και η συγκλίνει απολύτως, σύμφωνα με το κριτήριο σύγκρισης. Άρα η n=0 a n συγκλίνει. 3 n=n 0 a n Β: Ορισμός lima n : Το μεγαλύτερο από τα όρια των υπακολουθιών μιας ακολουθίας (a n ) καλείται ανώτερο όριο της ακολουθίας. Για τη δεδομένη (a n ) παρατηρούμε ότι a 3n 2 = 2 2 a 3n 1 = 3 3 a 3n = 1 1 Επίσης κάθε συγκλίνουσα υπακολουθία της (a n ) θα πρέπει να περιέχει άπειρους όρους κάποιας από τις προηγούμενες υπακολουθίες. Συνεπώς lima n = 3. 1 ακέραιο μέρος του s

4 Γ: i: Είναι lim 3n2 + 1 3n2 2n 2 = lim + 3 2n 2 = 3 2 0 Άρα η σειρά αποκλίνει. ii: Είναι 3n 2 + 1 ( 1)n n 6 + n 4 + 5 = 3n2 + 1 n 6 + n 4 + 5 3n2 + n 2 n 6 + n 4 + 5 4n2 n 6 = 4 n 4 Η σειρά 4 συγκλίνει. Επομένως από το κριτήριο σύγκρισης n4 η συγκλίνει. iii: Είναι ( 1) n 3n 2 + 1 n 6 + n 4 + 5 3 n lim n 2n 10 = lim 3 n 2 n n 10 = 3 > 1 Συνεπώς από το κριτήριο ρίζας η σειρά αποκλίνει. iv: Είναι 3 n 2n 10 ηµ(3n 2 + 1) 2 n ( ) 1 n < + 2 Άρα η σειρά ηµ(3n 2 + 1) 2 n συγκλίνει.

v: Η ακολουθία μερικών αθροισμάτων της {( 1) n } είναι φραγμένη. Η ακολουθία ( 1 n ) είναι φθίνουσα και μηδενική. Άρα από το κριτήριο του Leibniz η σειρά συγκλίνει. ( 1) n n 5